유클리드, 그리스 수학을 집대성한 원론의 저자

1. 유클리드의 생애

    ' 기하학원론'으로 유명한 고대 그리스 수학자입니다. 그의 삶에 대해서는 알려진 것이 거의 없습니다. 대략 기원전 365년에서 300 정도에 살았던 사람으로 추정됩니다.  프톨레마이오스의 제자들과 함께 아테네에 위치한 플라톤의 아카데미아에서 공부를 한 것으로 알려져 있습니다. 그 후에 이집트의 알렉산드리아로 이주하여 프톨레미 1세에 의해 알렉산드리아 도서관에서 수학교육과 박물관 관장으로서의 역할을 한 것으로 알려져 있습니다. 이 시기에 유클리드는 '기하학원론'이라는 책을 편찬합니다.   파포스의 책에서 아폴로니우스가 유클리드의 제자였다는 기록이 있습니다. 

2. 유클리드와 관련된 이야기들

  유클리드에 관한 가장 유명한 이야기는 "기하학에는 왕도가 없습니다"라는 말입니다. 유클리드는 당시 왕이었던 프톨레미 1세의 기하학스승이었는데,  프톨레미가 기하학을 배우면서 너무 힘들어서 유클리드에게 좀 쉽게 배우는 방법이 없느냐고 물었다고 합니다. 이 질문에 유클리드가 "왕이시어 기하학에는 왕도가 없습니다."라고 대답했다고 합니다. 

3. 유클리드가 남긴 업적

      유클리드가 남긴 업적은 유클리드 이후 2000년 동안 서양 수학의 교과서가 된 "기하학 원론"을 집필한 것입니다.  성경다음으로 많이 읽혔다고 하는 이 책은 이후에 수학 연구의 기준이 되었습니다. 뉴턴의 "프린키피아"나 영국의 독립선언서등도 이 원론의 영향을 받았다고 합니다.  총 13권으로 구성된 책으로 1권부터 6권까지는 평명기하에 관한 내용이 실려있습니다. 7권에서 9권까지는 정수론과 관련된 내용이 정리되어 있습니다. 여기에 소수가 무한하다는 것이 증명되어 있습니다.  10권에서는 무리수에 대한 이론이, 11권에서 13권까지는 공간도형에 대한 내용이 수록되어 있습니다. 마지막에 정다면체의 성질과 정다면체는 다섯 종류만 존재한다는 것에 대한 토론으로 끝을 맺고 있습니다. 

     원론이 위대한 이유는 기본적이 공리들을 가지고 400개가 넘는 정리들을 하나하나 증명해 냈다는 것입니다. 이것이 이후 수학의 연구방법의 표본이 됩니다. 간단한 5개의 공리로부터 방대한 수학 이론들을 증명해 나가는 과정이 하나의 예술처럼 펼쳐지는 "기하학원론"은 이후 수학자들에게 엄청난 영감을 제공합니다.  비록 창의적인 내용을 담아낸 책은 아니지만 그 당시 현존하는 거의 모든 수학이론은 하나의 체계로 통합해 낸 것은 유클리드의 뛰어난 업적입니다. 

 

4. 원론의 공리와 유클리드가 증명한 정리들.  

 기하학 원론의 공리들 : 기하학 원론에서 유클리드가 전제한 다섯 가지 공리는 다음과 같습니다. 

  1) 임의의  서로 다른 두 점 P, Q에 대해 두 점을 지나는 직선은 유일하다. 

 

  2) 임의의 두 선분 AB, CD에 대해 B가 A와 E 사이에 위치하게 되고 선분 BE의 길이가 선분 CD의 길이와 같게 되는 점 E는 유일하다. 

 

  3)임의의 서로 다른 두 점 O, A에 대해 중심이 O이고, 반지름이 OA인 원이 존재한다. 

 

  4)모든 직각은 서로 합동이다.

 

  5)한직선 L과 L위에 있지 않은 점 P가 주어질 때, 점 P를 지나면서 직선 L과 평행인 직선은 유일하다.

 

이상의 5개의 공리를 가지고 400여 개의 기하학 명제를 증명합니다. 물론 5번째 공리가 공리로 2000년 이상 수학자들에게 의심을 받게 되고 5번째 공리를 극복(?)하는 과정에서 19세기말에 비유클리드 기하학이 탄생합니다. 

 

   유클리드호제법 유클리드 호제법이라는 정리가 7권에 수록되어 있습니다. 이는  두 수의 최대공약수를 구하는 방법입니다. 내용은 서로소가 아닌 두 수 a, b의 최대 공약수를 찾는 것은 다음 두 규칙을 가지고 찾을 수 있다고 합니다. 

  1)b가 a로 나누어 떨어지면 두 수의 최대 공약수는 b입니다. 

  2)a를 b로 나누었을 때 나머지가 r 이면 두 수의 최대공약수는 r과 b의 최대공약수와 같다